Les secrets du triangle de Pascal

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Ce triangle ressemble probablement à un empilement de nombres bien rangés, mais c’est en fait un trésor mathématique. 
Les mathématiciens indiens le surnomment « l’escalier du mont Meru ». 
En Iran, il est appelé « Triangle de Khayyâm ». 
Et en Chine, il est connu sous le nom du « Triangle de Yang Hui ». 
Mais pour une grande partie du monde, il est connu sous le nom de « Triangle de Pascal », d’après le mathématicien français Blaise Pascal.

Pourquoi a-t-il intrigué les mathématiciens autour du monde ? 
Pour faire simple, il renferme une myriade de secrets mathématiques, dont certains non encore découverts.

              Le triangle de Pascal

Tout d’abord, voici comment il a été créé.

• Commence avec un 1 et imaginez-le encadré de 0 invisibles. 
• Additionne les chiffres par paires et tu obtiens la ligne suivante. 
• Maintenant, recommence. 
• Continue ainsi et tu te trouveras les nombres de la figure ci-dessous, bien que ce triangle puisse se décliner à l’infini. 

Quelques secrets dévoilés…
Ce qu’il y a d’incroyable avec ce triangle, c’est qu’une construction aussi simple renferme quantités de propriétés mathématiques. Tout dépend de la façon dont on le lit.

Allonz-y…

• En additionnant les nombres de chaque ligne, tu obtiens les puissances successives de 2. Donc, pour une ligne n, la somme des nombres sur la ligne est égale à 2n. Prenons par exemple la quatrième ligne (en comptant de 0 bien-sûr), puis additionnons les nombres de cette ligne : 1+4+6+4+1 = 16.
  Et on retrouve bien l’égalité : 16 = 24.
  Pas mal donc ! et assez inattendu !
  
• Pour une ligne n, traite chaque nombre comme une décomposition décimale
  En d’autres termes, la ligne 2 peut se réécrire comme suit :
  11+210+1100. 
  Tu obtiens 121, soit 11² . 
  Encore un ?
  De la même manière, voici ce qui se passe avec la sixième ligne. 
  11+610+15100+201 000+(1510 000)+(6100 000)+(11 000 000)=1 771 561 et  1 771 561 = 116. 
  

Intéressons-nous maintenant quelques propriétés géométriques…

• Prends les diagonales. Les deux premières ne sont pas très intéressantes : une suite de 1, puis les nombres entiers positifs appelés entiers naturels. 
  Mais dans la diagonale suivante, les nombres sont appelés nombres triangulaires car tu peux les empiler pour former des triangles équilatéraux…

      Les nombres triangulaires

• La diagonale suivante contient les nombres tétraédriques parce que tu peux également empiler ce même nombre de billes dans un tétraèdre. 

                        Les nombres tétraédriques

• Ou encore ceci : colorie tous les nombres impairs. Tu obtiens le triangle de Sierpinsky. 

Triangle de Sierpinsky dans le triangle de Pascal

Ce triangle n’est pas seulement une œuvre d’art mathématique.
Il est aussi très utile dans les calculs et les probabilités dans le domaine de la combinatoire.
Intéresse-toi au problème suivant…
Si tu tires au sort 5 joueurs de basket pour former une équipe parmi un groupe de 12 amis, combien d’équipes différentes peux-tu former ? 
En combinatoire, ce problème s’énonce comme un tirage de 5 parmi 12 : 125. Tu peux simplement regarder le 5ème élément de la 12ème ligne du triangle (en commençant par 0) pour avoir ta réponse : 792. 

Les motifs contenus dans le triangle de Pascal sont loin d’être tous découverts. Des secrets sont encore révélés de nos jours. Qu’est-ce qui viendra ensuite ? Eh bien, ça dépend de toi !